Расчет электрического поля

Solver для электрического поля использует в качестве переменных расчета электрический скалярный потенциал. Есть два основных типа статических задач для электрического поля, а также их комбинация:

•  Для электростатической задачи предполагается, что все объекты стационарные (скорость перемещения равна нулю во всем пространстве, где вычисляется электростатическое поле), нет изменения во времени ни одной из электромагнитных величин () и нет тока в проводниках (проводники находятся в электростатическом равновесии), и, таким образом, Джоулевы потери везде равны нулю. Все проводники, как предполагается, являются идеальными и эквипотенциальными, следовательно, внутри проводников отсутствует электрическое поле. Неизвестные (переменные расчета) - это электрические скалярные потенциалы во всех узлах тетраэдров сетки. Распределение удельной проводимости в пространстве для задачи не имеет значения, для процесса решения важно только распространение диэлектрической проницаемости.

•  Для задачи растекания постоянного тока, только проводники (электропроводность > порога изолятор/проводник) учитываются в процессе решения. Переменные расчета - также электрические скалярные потенциалы в узлах сетки. Здесь распространение электропроводности важно для процесса решения, в то время как диэлектрическая проницаемость не имеет значения. Есть растекание тока в проводниках (проводники не являются эквипотенциальными) и есть Джоулевы потери, отличные от нуля (омические мощности потерь) в проводниках (которые являются частью пути растекания тока возбуждения). Проводники, как предполагается, неподвижны (скорость везде равна нулю). Магнитное поле, связанное с растеканием постоянного тока, не вычисляется и полностью отделено от рассчитанного распространения электрического поля в проводниках.

• Сочетание растекания постоянного тока и электростатического решения основано на отдельном расположении проводников и изоляторов. Проводники - это те объекты, электропроводность которых больше или равна порогу изолятор/проводник, а изоляторы - это те, удельная проводимость которых менее порога изолятор/проводник. Решение таких задач выполняется в два шага: сначала решается задача проводимости постоянного тока в проводниках, потом определяется электростатическое решение в изоляторах с использованием электрического скалярного потенциала проводников, как граничного условия напряжения.

Для задачи электрического поля десять узловых переменных (неизвестных электрических скалярных потенциала), соответствующих каждому тетраэдру, - это каждая из этих четырех вершин и каждая из шести середин ребер. При этом в каждом тетраэдре может быть получено квадратичное приближение (аппроксимация) электрического скалярного потенциала.

Solver электростатического поля решает дифференциальное уравнение Пуассона в частных производных для неизвестного электрического потенциала с соответствующими граничными условиями:

где:

•  это электрический потенциал, который является скалярной функцией положения.

• относительная диэлектрическая проницаемость, которая является функцией положения и может быть изотропной или ортотропной.

•  диэлектрическая проницаемость вакуума (Ф/м).

•  объемная плотность электрического заряда.

Когда электрический потенциал определен путем решения вышеупомянутого дифференциального уравнения второго порядка в области модели, по уравнениям Максвелла и теоретическим формулам вычисляются вектора напряженности электрического поля и электрической индукции следующим образом:

Типичные источники для электростатических задач - это charges (однородно распространенные заряды), задаваемые для идеальных изоляторов - объектов модели или поверхностей, которые не могут касаться проводников, и voltages (электрический потенциал присваивается идеальным проводникам - объектам модели или поверхностям, такое условие также называется граничным условием Дирихле). Также может быть применено граничное условие floating для идеальных проводников (окруженных изоляторами) или поверхностей, окруженных идеальными изоляторами.

Volume charge density (плотность объемного заряда) - другое возможное возбуждение, для которого пользователь может определить пространственное распространение, оно может быть применено только к непроводящим объектам, которые не касаются проводников.

В поверхности раздела между двумя диэлектриками у нормальной составляющей вектора электрической индукции нет скачка, если плотность заряда в соответствующей поверхности раздела нулевая:

где величины диэлектрической проницаемости и нормальной составляющей электрического поля, рассматриваемые в этих двух диэлектриках, указаны под индексами 1 и 2. В случае же пересечения поверхности с плотностью заряда, отличной от нуля, у нормальной составляющей электрической индукции есть скачок, равный соответствующей локальной поверхностной плотности заряда. Из этого следует, что в диэлектриках (таких как воздух, например) в непосредственной близости проводящих объектов (идеальных проводников), нормальная составляющая электрической индукции равна локальной плотности заряда на соседней металлической поверхности (так как в металлических объектах величина поля равна нулю).

Электростатический режим электромагнитного поля, строго говоря, редко достигается на практике. Однако во многих случаях возможны очень хорошие аппроксимации для использования в практических ситуациях в пределах, определенных выше.

Solver задачи растекания постоянного тока решает следующее уравнение:

где:

•  это электрический потенциал, который является скалярной функцией положения.

• электропроводность (в системе СИ измеряется в См/м), которая является функцией положения и может быть изотропной или ортотропной.

Когда электрический потенциал определен решением вышеупомянутого дифференциального уравнения второго порядка в области задачи, по уравнениям Максвелла и закону Ома в локальной формулировке вычисляются векторы напряженности электрического поля и плотности электрического тока :

Типичные источники в задачах растекания постоянного тока - currents , заданные на поверхностях проводников, и voltages (электрический потенциал, заданный на поверхностях проводников). Заданный ток всегда направлен по нормали к соответствующим поверхностям (ориентация - "вход" или "выход").

Sink - особенное возбуждение (без присвоенного численного значения), которое используется, чтобы гарантировать отличительный признак для расчетного вектора плотности постоянного тока в каждом пути проводимости.

В поверхности раздела между двумя различными проводниками нормальная составляющая вектора плотности тока непрерывна:

Для задач растекания постоянного тока решение определяется во всех проводниках распространением электропроводности в соответствии с заданными свойствами материалов.

Варианты возбуждения charge, voltage, floating, current и sink называют типом "terminal", так как на них можно сослаться в задании матрицы импеданса.

В идеальных проводниках не производится вычисление, и электрический скалярный потенциал (неизвестная величина в задаче) имеет одинаковую величину. При этом на этапе обработки результатов решения распространение (постоянное) электрического скалярного потенциала (напряжение) отображается корректно. Решение не доступно в телах, явно исключенных из решения.

Решение любой полевой задачи возможно, только если были установлены соответствующие граничные условия. У граничных условий есть три цели:

• Граничные условия всегда необходимы с точки зрения математики, чтобы гарантировать уникальность решения, вычисленного Maxwell.

• Граничные условия иногда предоставляют удобный способ смоделировать различные идеальные ситуации. Например, чтобы смоделировать область в диэлектрике, зажатую между двумя очень тонкими проводящими объектами (толщина - по крайней мере на два порядка меньше, чем другие значимые размеры соответствующих проводящих объектов), необходимо смоделировать только две соответствующих поверхности с обеих сторон диэлектрического объекта. Нижней и верхней поверхностям задаются соответствующие граничные условия, и поле в диэлектрике моделируется корректно, при этом нет необходимости рисовать соответствующие проводники.

• Также иногда граничные условия обеспечивают удобный способ использовать в своих интересах ситуации симметрии. В таких случаях у моделей должны быть те же самые геометрия и свойства материалов, как при электрической симметрии.

Типичные граничные условия включают voltage, floating и insulation boundary conditions. В случае insulating boundary condition (начальное условие типа изоляция), проводник должен существовать, по крайней мере, на одной из сторон соответствующей поверхности.

Граничное условие по умолчанию, относящееся ко всем поверхностям границы задачи электрического поля (статического или стационарного), - это однородное условие Неймана. Это условие предписывает тангенциальное поведение электрического поля в задаче в непосредственной близости границ. Нет необходимости применять любое особое граничное условие к поверхностям, разделяющим объекты с различными свойствами материалов, поскольку решение автоматически гарантирует - в среднем - непрерывность тангенциальной составляющей напряженности электрического поля () и непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции () через поверхности с нулевой поверхностной плотностью электрического заряда (для электростатических задач).